把前面几节连起来

固定肩的位置。
按肩的朝向，得到上臂的位移。
肩的位置加上这段位移，得到肘的位置。
继承肩的朝向，再加上肘的局部转动。
肘的位置加上前臂的位移，得到手的位置。

FK 的规则：
子关节位置 = 父关节位置 + 按父关节朝向旋转后的静止偏移。

先手算这个例子

肩角为 0°，肘角为 +90°。上臂位移为 (0, 1)，前臂位移为 (−1, 0)。

肘 = (0, 0) + (0, 1) = (0, 1)
手 = (0, 1) + (−1, 0) = (−1, 1)

右侧调整角度，就能看到相同规则计算出的新位置。

再看一次计算公式

记肩角为 a，肘的局部角为 b。两段骨长都是 1，初始方向朝上。

肘 = (−sin a, cos a)
手 = 肘 + (−sin(a+b), cos(a+b))

这里不是从 x 轴开始量角，而是从初始 +y 方向开始转，所以写成 (−sin, cos)。sin 和 cos 可先理解为转动后在两个轴上的分量。

对应项目里的哪两行？

positions[index] = parent_position + parent_rotation @ rest_offsets[index]
orientations[index] = parent_rotation @ rotation_vector_to_matrix(rotations_local[index])

第一行算位置。第二行算朝向。@ 是矩阵乘法；这里用它把局部偏移或局部旋转转换到世界坐标。本节后半部分会逐项推导这些符号，并对照完整循环。

来源：src/dhik/fk.py 第 111、112 行。

从变换乘法推导 FK 递推

记父关节的世界变换为 [R父 | p父]，子关节的局部变换为 [R局部 | t]。把齐次变换相乘，得到：

T子世界 = T父世界 T子局部

R子 = R父 R局部
p子 = p父 + R父 t

为什么位置公式里没有子关节自身的局部旋转？因为子关节原点在自己的坐标系中是零向量；R局部乘零仍然是零。它的旋转改变朝向，不移动自身原点。

两段骨链的通用公式

根部没有额外旋转，肩位于 (0, 0)。上臂长 l₁，前臂长 l₂，肩角 a，肘局部角 b。静止偏移分别是 (0, l₁)、(0, l₂)。

p肩 = (0, 0) R肩 = R(a)
p肘 = p肩 + R肩(0, l₁) R肘 = R(a)R(b)
p手 = p肘 + R肘(0, l₂)

p肘 = (−l₁ sin a, l₁ cos a)
p手 = (−l₁ sin a − l₂ sin(a+b),
l₁ cos a + l₂ cos(a+b))

手算一个非直角例子

取 l₁ = l₂ = 1，a = 30°，b = 60°。先算上臂，再算前臂：

R肩 = R(30°)
p肘 = (−1/2, √3/2) ≈ (−0.500, 0.866)
R肘 = R(30°)R(60°) = R(90°)
前臂位移 = R(90°)(0, 1) = (−1, 0)
p手 = (−3/2, √3/2) ≈ (−1.500, 0.866)

如果误把肘的局部角 60°当作世界角，就会用 R(60°) 计算前臂，得到另一组手坐标。骨长可能仍正确，但父子旋转关系已经错了。

逐行对应当前项目代码

for index in range(num_joints):
    parent = parent_indices[index]
    if parent is None:
        parent_rotation = root.rotation
        parent_position = root.translation
    else:
        parent_rotation = orientations[parent]
        parent_position = positions[parent]
    positions[index] = (
        parent_position + parent_rotation @ rest_offsets[index]
    )
    orientations[index] = (
        parent_rotation @ rotation_vector_to_matrix(rotations_local[index])
    )

变量	数学含义
`rest_offsets[index]`	父坐标系中的静止偏移 t
`parent_rotation`	父关节的世界朝向 R父
`parent_position`	父关节的世界位置 p父
`rotations_local[index]`	当前关节的局部旋转向量
`rotation_vector_to_matrix`	把局部旋转向量转换为 R局部

代码中每关节的三个旋转数是旋转向量，不是依次绕 x、y、z 转的三个欧拉角。向量方向给出旋转轴，模长给出弧度。本页绕 z 轴的 θ 写成 (0, 0, θ)。

根关节和末端关节的两个细节

根关节没有骨架内的父关节，所以把外部 root_transform 作为父变换。默认它的位置为零、旋转为单位矩阵。根关节的静止偏移在本例中为零。

如果只改手关节的局部旋转，手的位置不变，因为它没有后续关节。但手的世界朝向会改变。位置和朝向是两个不同输出，不能只检查末端位置就认为整套 FK 都正确。

复杂度与检查方法

拓扑序保证循环算到子关节时，父关节的数据已经存在。每个关节只算一次，固定维度下时间复杂度为 O(N)。输出正确性至少需要检查：手算样例、父子传播、骨长不变，以及旋转朝向。

理解 FK 的标准：给你任意一个关节，你能指出它用谁的位置、谁的旋转，以及哪一个静止偏移。然后才能继续学 IK 的更新规则。

推导练习

设肩角 30°、肘局部角 60°。把前臂长改成 2，求手的位置。再说明：如果肩的世界位置改成 (2, −1)，而角度不变，怎样修改结果？

展开推导参考

前臂位移 = 2(−1, 0) = (−2, 0)
手 = (−1/2, √3/2) + (−2, 0)
= (−5/2, √3/2)
肩平移后，整条骨链平移 (2, −1)：
手 = (−1/2, √3/2 − 1)

English explanation / 英文讲解

Compute parents before children

Fix the shoulder position. Rotate the upper-arm rest offset by the shoulder's orientation to obtain the elbow displacement. Add it to the shoulder. Inherit that orientation, apply the elbow's local rotation, rotate the forearm offset, and add it to the elbow.

pⱼ=pᵢ+Rᵢ tⱼ; Rⱼ=Rᵢ Rⱼ,local

Here i is the parent, j is its child, tⱼ is the child rest offset in the parent's frame, and p and R are world quantities. A root transform supplies the starting position and orientation.

A numerical example

With a=0° and b=90°, upper-arm displacement is (0,1) and forearm displacement is (−1,0). The elbow is (0,1), and the hand is (−1,1).

B=(−sin a, cos a)
C=B+(−sin(a+b), cos(a+b))

These components start from +Y, which explains the negative sine in x. They are not the formula for an angle measured from +X.

Check the complete chain

Follow the parent order, accumulating orientations and then positions. A correct FK preserves rest-offset lengths because rotations are orthogonal. After IK proposes local rotations, run the same FK again and compare its endpoint and adjacent distances with the requested constraints.

Read the actual FK loop

For each index in parent-before-child order, take the external root transform if it has no parent; otherwise take the stored parent world rotation and position. Compute positions[index]=parent_position+parent_rotation@rest_offsets[index]. Then compute orientations[index]=parent_rotation@rotation_vector_to_matrix(rotations_local[index]).

The three local rotation components form a rotation vector, not three successive Euler angles: its direction gives the axis and its norm the angle in radians. Rotation θ about Z is (0,0,θ). Changing only a terminal joint's local rotation changes its orientation but not its position. Each joint is processed once, giving O(N) work at fixed matrix size.

For shoulder 30°, elbow local 60° and forearm length 2, the hand is (−2.5,√3/2). Translating the shoulder by (2,−1) adds that displacement to all positions, so the hand becomes (−0.5,√3/2−1).

动手观察

用这一节的公式判断